115 學測數學 A 數據分析：平均數、標準差與相關係數概念釐清,數A數據分析

數據分析是 115 學測數學 A 中一個重要的考點，其中平均數、標準差和相關係數更是核心概念。許多同學在面對這些概念時，常常感到模糊不清，導致在**學測**考場上失分。這篇文章將深入淺出地解析這些概念，幫助你徹底釐清，在考場上取得佳績！

115 學測數學 A 數據分析：平均數、標準差與相關係數概念釐清,數A數據分析

在面對**學測**數學 A 的數據分析題目時，清晰理解平均數、標準差與相關係數至關重要。這些不僅是計算公式，更是理解數據分佈和關係的基礎。

平均數 (Mean)：數據的重心

平均數是最常見的統計量，代表數據的中心位置。簡單來說，就是將所有數據加總後除以數據的個數。

公式：

平均數 (μ) = (x₁ + x₂ + … + x_n) / n

其中：

• x₁, x₂, …, x_n 代表各個數據
• n 代表數據的總個數

例子：

假設五位同學的數學成績分別是 70, 80, 85, 90, 95，那麼他們的平均成績就是 (70+80+85+90+95) / 5 = 84 分。

注意事項：

平均數容易受到極端值 (Outlier) 的影響。例如，如果一位同學考了 0 分，那麼平均數就會被拉低。因此，在分析數據時，需要注意是否存在極端值，並考慮是否使用其他統計量（例如中位數）來更準確地描述數據的中心位置。

加權平均數

當數據的重要性不同時，我們需要使用加權平均數。加權平均數考慮了每個數據的權重 (Weight)，權重越大，對平均數的影響就越大。

公式：

加權平均數 = (w₁x₁ + w₂x₂ + … + w_nx_n) / (w₁ + w₂ + … + w_n)

其中：

• w₁, w₂, …, w_n 代表各個數據的權重
• x₁, x₂, …, x_n 代表各個數據

例子：

一位同學期中考佔 30%，期末考佔 70%。如果他期中考考了 80 分，期末考考了 90 分，那麼他的學期總成績就是 (0.3 * 80 + 0.7 * 90) = 87 分。

標準差 (Standard Deviation)：數據的分散程度

標準差是用來衡量數據分散程度的指標。標準差越大，表示數據越分散；標準差越小，表示數據越集中。

公式：

標準差 (σ) = √[Σ(x_i – μ)² / (n – 1)]

其中：

• x_i 代表每個數據
• μ 代表平均數
• n 代表數據的總個數
• Σ 代表加總

步驟拆解：

1. 計算平均數 (μ)。
2. 計算每個數據與平均數的差 (x_i – μ)。
3. 將每個差平方 (x_i – μ)²。
4. 將所有平方差加總 Σ(x_i – μ)²。
5. 除以 (n – 1) (稱為自由度)。
6. 開根號。

例子：

延續之前的例子，五位同學的數學成績分別是 70, 80, 85, 90, 95，平均數是 84 分。
計算標準差：

√[((70-84)² + (80-84)² + (85-84)² + (90-84)² + (95-84)²) / (5-1)] ≈ 9.62 分

注意事項：

在計算樣本標準差時，分母是 (n – 1)，而不是 n。這是因為使用 (n – 1) 可以得到更準確的標準差估計值，尤其是在樣本數較小的時候。

相關係數 (Correlation Coefficient)：變數之間的關係

相關係數是用來衡量兩個變數之間線性關係強弱的指標。相關係數的範圍在 -1 到 1 之間。

• 相關係數接近 1：表示兩個變數之間存在正相關，也就是一個變數增加，另一個變數也增加。
• 相關係數接近 -1：表示兩個變數之間存在負相關，也就是一個變數增加，另一個變數減少。
• 相關係數接近 0：表示兩個變數之間沒有明顯的線性關係。

公式 (皮爾森積矩相關係數)：

r = Σ[(x_i – μ_x)(y_i – μ_y)] / [√(Σ(x_i – μ_x)²) * √(Σ(y_i – μ_y)²)]

其中：

• x_i 代表第一個變數的每個數據
• y_i 代表第二個變數的每個數據
• μ_x 代表第一個變數的平均數
• μ_y 代表第二個變數的平均數
• Σ 代表加總

例子：

假設我們想了解身高和體重之間的關係。蒐集了五位同學的身高 (公分) 和體重 (公斤) 數據：

身高：160, 165, 170, 175, 180

體重：50, 55, 60, 65, 70

計算相關係數： (過程省略，實際考試會提供公式或計算機)

r ≈ 1

這表示身高和體重之間存在高度正相關，也就是身高越高，體重也越重。

注意事項：

相關係數只能衡量線性關係，不能衡量非線性關係。此外，相關性並不代表因果關係。例如，冰淇淋的銷售量和犯罪率可能存在正相關，但這並不表示吃冰淇淋會導致犯罪。這種現象可能是因為夏天天氣炎熱，人們既會買冰淇淋，也會增加戶外活動，從而增加犯罪的機會。

掌握重點，迎戰**學測**

數據分析的題目變化多端，但萬變不離其宗。理解平均數、標準差和相關係數的概念，熟練掌握計算公式，並能靈活運用，就能在**學測**考場上應付自如。 記住，練習才是王道！ 多做歷屆試題，找出自己的弱點，加強練習，一定能有所突破。

考前準備小技巧

• 複習公式：考前一定要熟記平均數、標準差與相關係數的公式，並且理解其意義。
• 歷屆試題：多做歷屆**學測**試題，熟悉考試題型與出題方向。
• 觀念釐清：針對不熟悉的觀念，務必徹底釐清，不要留下任何疑問。
• 計算練習：練習計算，避免計算錯誤。
• 時間分配：考試時注意時間分配，不要在某一道題目上花費過多時間。

希望這篇文章能幫助你更好地理解**學測**數學 A 的數據分析，祝你考試順利，金榜題名！

行動呼籲：

現在就開始練習歷屆試題，檢驗你的學習成果！ 如果你還有任何問題，歡迎在下方留言，我們將盡力解答。 訂閱我們的頻道，獲取更多**學測**數學 A 的學習資源！ 加油！